5. Kamerasalg

Cournots modell tar utgangspunkt i at duopolistene velger hvor mye de skal produsere, og så selger til den prisen som blir etablert i markedet. Men hva skjer om vi heller antar at produsentene velger hvilke priser de skal selge produktene for, og deretter selger og produserer så mye de kan til disse prisene? Dette er problemstillinga i Bertrands duopolmodell (Bertrand 1883).

Fotografene Ada AS og Bob AS produserer og selger samme type engangskamera. Begge har forretningslokale i den samme gata, like ved siden av hverandre. Det koster c kroner å produsere ett engangskamera, og etterspørselen i markedet når vi vet prisen, er gitt ved funksjonen (Rasmusen 1989):

Q(p) = a - p

Det som vil skje i denne situasjonen, er at alle kundene vil handle hos den som har lavest pris. Det betyr, den som har lavest pris, vil tjene

(a - p) p - (a - p) c

og den som har høyest pris vil ikke tjene noe.

Har begge samme pris vil like mange handle hos hver. De vil da tjene:

I denne modellen er det en dominant strategi for spillerne å sette ned prisene, for dermed å kapre hele markedet. Hvis vi antar at begge ønsker å selge for ei krone billigere enn den andre, og at a = 100 og c = 10, kan vi illustrere Ada AS og Bob AS sine beste-respons funksjoner i følgende diagram:

Figur 5.1 Når alle kundene handler hos den med lavest pris, er det ei Nash-likevekt at produktene selges til minimumskost.

Hvis prisen er lavere enn kostnadene, vil fotografene gå med underskudd. 10 kroner blir derfor den minste prisen de kan ta for kameraene. Konklusjonen her blir at begge selger kameraer til 10 kroner stykket, og at ingen av dem derfor tjener noe på det.

Men hvis engangskameraene har forskjellig kvalitet eller andre forskjeller, kan de selges til forskjellige priser. Ada AS sine kameraer er kanskje best til nærbilder, mens Bob AS sine er best til fjernbilder. Da har vi det som kalles for et differensiert duopol: Produktene er ikke helt like.

Etterspørselfunksjonene i et slikt marked kan være(Gibbons 1992):

a er som før en konstant som sier noe om hvor stort markedet er, mens b (³ 0) i denne modellen sier noe om hvor like produktene er. Hvis b = 0 er produktene helt forskjellige. Prisendringer på ett av produktene får da ingen innvirkning på etterspørselen etter det andre. Begge har da monopol på hver sine produkter. Monopolistens fortjenestefunksjon blir:

Vi deriverer og finner toppunktet:

Resultatet i et monopol blir:

For Ada AS derimot, som er en spiller i et differensiert duopol, blir fortjenestefunksjonen:

Denne funksjonen må vi derivere med hensyn på p1 for å komme fram til Ada AS`s beste-respons funksjon:

Bob AS får også her en helt symmetrisk beste-respons funksjon:

Dette er to ligninger med to ukjente, og for å finne Nash-likevekta løser vi dem:

Vi kan også finne Nash-likevekta ved å tegne begge beste-respons funksjonene inn i et diagram (vi forutsetter at b=0,5):

Figur 5.2 Bertrands duopolmodell med differensierte produkter. Det er ei Nash-likevekt at kameraene selges for 73 kroner.

Nash-likevekta i denne modellen er at begge selger engangskameraene for (100 + 10) / (2 - 0,5) = 73 kroner.