11. En hemmelig avtale

Telefonen hos baker Skorpe ringte akkurat idet han skulle ta de første av dagens brød ut av ovnen. Det var baker Skalk igjen.

"Hei Skorpe", hørte han ifra telefonrøret, "Har du tenkt over det jeg sa i går?"

Skorpe kremtet, og sa at han hadde vurdert forslaget som baker Skalk hadde kommet med. Det gikk ut på at begge to skulle redusere brødproduksjonen. På den måten kunne begge tjene mer enn de gjorde i dag. Et sånt samarbeid var egentlig ikke tillatt ifølge loven i Spillby, men det var lite sannsynlig at det ville bli oppdaget med det første. Og hvis samarbeidet skulle bli oppdaget, så var det eneste konkurransetilsynet kunne gjøre å stoppe det. De ville ikke få noen straff. Skorpe hadde derfor bestemt hva han skulle gjøre.

"OK," sa han med lav røst. "Vi har en avtale."

Kartell

I et marked med få tilbydere, kan tilbyderne tjene på å gå sammen i et kartell for å oppnå markedsmakt. Den som har markedsmakt har muligheten til å påvirke prisen i markedet (Ringstad 1998). På den måten er det mulig for produsenter å øke prisen, og dermed få høyere overskudd. Eller konsumentene kan gå sammen i en organisasjon for å prøve å presse prisene nedover.

I dette kapitlet skal vi se på hvordan to produsenter kan oppnå monopol ved at de samordner produksjon og salg i et kartell. Vi tar utgangspunkt i Cournot`s duopolmodell fra kapittel 4. Her så vi at det gir størst overskudd for bakerne når det blir produsert 45 brød. Men etter at baker Skalk fikk konkurranse, ble den totale produksjonen økt til 2 · 30 = 60 brød. Så hvis de med en avtale kan redusere produksjonen, vil begge tjene på det.

Vi forenkler Cournot`s modell, og sier at begge spillerne bare har to strategier. De kan fortsette å produsere Nash-likevekt kvantumet på 30 brød, eller de kan samarbeide om å dele produksjonen på 45 brød mellom seg. Det vil si at begge lager 45 / 2 » 23 brød. Hvis begge fortsetter å produsere 30 brød, vil begge tjene: 30 (100 - 30 - 30) - 10  · 30 = 900 kroner. Og hvis de samarbeider og produserer 23 brød, vil de tjene: 23 (100 - 23 - 23) - 10  · 23 = 1012 kroner.

Men det kan også skje at en av dem bryter avtalen. Den som bryter avtalen vil da tjene: 30 (100 - 23 - 30) - 10  · 30 = 1110, mens den som holder avtalen bare tjener 23 (100 - 23 - 30) - 10  · 23 = 851.

Vi får derfor følgende statiske spill:

Tabell 11.1  Tabellen viser hva spillerne kan tjene på å følge kartellavtalen eller å bryte den.

Vi ser at dette er et eksempel på fangens dilemma.

Vi har nå samme problem som i fangens dilemma: For begge er det en dominant strategi å ikke samarbeide, men hvis de hadde samarbeidet kunne begge ha tjent på det. Dette er en av grunnene til at et kartell har problemer med å fungere, og er en del av det som kalles for kartellets indre fiender (Ringstad 1998).

Gjentatte spill

Hvis spillet bare skal spilles én gang, vil ingen av spillerne holde avtalen. Men i virkeligheten vil ikke et slikt spill spilles bare en gang. Hver dag vil være en del av et større spill, og vi kan se på hele bakernes liv som et stort spill. Dette betyr at vi har et spill som gjentas. Det spillet som gjentas kalles for et trinn-spill.

Når et spill gjentas flere ganger kan avtaler som for eksempel kartell-avtaler holdes. For nå har spillerne muligheten til å straffe hverandre: Hvis en bryter avtalen i en periode, kan han være sikker på at da vil den andre bryte avtalen i neste. Hvis vi tenker oss at kartell-spillet skal gjentas ti ganger, kan vi løse spillet med baklengs induksjon. Vi starter da med siste gang spillet gjentas. Her har ikke spillerne noen mulighet til å straffe hverandre senere, og resultat blir derfor at begge bryter avtalen i siste periode. I nest siste periode vet begge spillerne at avtalen vil bli brutt i siste periode uansett hva som skjer i nest siste. Begge spillerne vil derfor også bryte avtalen i nest siste periode. Samme resonnement bruker spillerne i tredje siste periode, og resultatet blir til slutt at avtalen brytes i alle periodene. Dette er det såkalte "rakne-problemet " (Hovi og Rasch 1993).

Så lenge spillerne vet hvor mange ganger et spill skal gjentas og dermed vet hva som er siste periode, vil vi ha problemet med at hele avtalen bare rakner sammen. Men hvis spillerne ikke vet hvor mange ganger spillet skal gjentas eller det skal gjentas i det uendelige, finnes det ingen siste periode. I eksempelet med baker Skalk og baker Skorpe vil avtalen i utgangspunktet vare i det uendelige. Men det er hele tiden en viss sannsynlighet for at konkurransetilsynet skal finne ut av samarbeidet, og sette en stopper for det. De vet imidlertid ikke når det vil skje. Etter hver dag kan de for eksempel regne med at det er 1% sannsynlighet for at de blir stoppet av konkurransetilsynet, og at spillet dermed ikke vil gjentas flere ganger.

Diskontering

Når et spill gjentas flere ganger, kan vi ikke uten videre sammenligne overskuddet fra den første dagen med det overskuddet spillerne oppnår flere år senere. Det er bedre å få 1000 kroner i dag enn om ett år (Hoff 1998). Da kan man kjøpe noe for pengene med en gang, uten å måtte vente et helt år. Vi kan også sette pengene i banken for dermed å opptjene ett års rente.

Også for andre ting enn penger er det vanligvis sånn at vi ønsker å motta det tidligst mulig. Det er bedre å spise en pizza i dag enn om tusen år! Vi ser at det er åpenbart at all nytte har en tidsverdi: Konsum i dag er mer verd enn konsum i morgen.

Når vi skal sammenligne det vi mottar på andre tidspunkter med det vi mottar i dag, må vi derfor diskontere ned de framtidige pengebeløpene for å finne en nåverdi. Dette gjør vi ved å multiplisere beløpene med en diskonteringsfaktor, d (delta). I dette eksemplet vil diskonteringsfaktoren bestå av to deler:

1.) Neddiskonteringen som følge av tidsforskjellen. Denne finner vi ved å ta utgangspunkt i ei gitt rente, r, oppgitt i desimaler. Vi finner nåverdifaktoren ved å dividere 1 med 1 + r.

2.) Vi regner med at det hele tiden er en viss sannsynlighet for at kartellsamarbeidet vil bli stoppet av konkurransetilsynet. Etter hver dag er det 1% sannsynlighet for at spillet vil bli avsluttet. Vi har altså et spill som innholder risiko. Dette kan vi ta med som en del av diskonteringsfaktoren ved å regne ut en forventningsverdi^[3]. Nåverdifaktoren må derfor multipliseres med 1 - 0.01 = 0.99, og vi får:

Skal vi nå finne forventet nåverdi av et beløp i en gitt periode, må vi multiplisere beløpet med d opphøyd i nummeret på perioden. Den perioden vi befinner oss i nå, kalles for periode 0, neste for periode 1, osv.

Strategier i gjentatte spill

For at det skal være rasjonelt for spillerne å følge kartell-avtalen, må dette være ei delspill-perfekt Nash-likevekt. Dette betyr at vi må se på hvilke strategier som er mulige. Når et spill gjentas i det uendelige kan vi ikke bruke de vanlige komplett-plan-strategiene. Strategiene må derfor uttrykkes på en annen måte, for eksempel med strategitypen som kalles for finite automaton (Binmore 1992). En finite automaton kan vi se på som en programmert datamaskin som velger handlinger avhengig av hvilke handlinger som har blitt spilt i løpet av de siste periodene. Eksempler på finite automata strategier er:

-Bryt avtalen uansett

 og

-Hold avtalen uansett

Men vi kan også ha strategier som for eksempel:

-(Trigger:) Følg avtalen i første periode. Fortsett å følge avtalen så lenge motspilleren gjør det. Hvis han ikke følger den, så bryt avtalen i alle de neste periodene

-(Tit for tat:) Samarbeid i første periode. Spill så alltid den handlinga som motspilleren spilte i forrige periode

-(Tat for tit:) 1.) Bryt avtalen i første periode. Fortsett å bryte avtalen hvis motspilleren følger  den 2.) Hvis motspilleren også bryter avtalen, gå over til å prøve å samarbeide. Samarbeid så lenge motspilleren gjør det. Hvis motspilleren bryter avtalen, så gå tilbake til å bryte avtalen.

Nash-likevekter

I et spill som gjentas i det uendelige er det et uendelig antall mulige strategier. Her vil vi derfor bare vise ei forenklet strategisk form av spillet, hvor vi kun ser på de fem strategiene som er nevnt i forrige avsnitt.

Hvis begge bryter avtalen, så vil begge tjene 900 i hver periode. Vi antar at renta er 0,03% per dag (r = 0,0003). Da blir d » 0,9897. Nåverdien blir (dette er ei geometrisk rekke):

Om begge velger å følge avtalen i hver periode uansett, så blir nåverdien lik: 1012 / (1- d) » 98 282

Skulle en velge strategien "trigger", mens en alltid velger å bryte avtalen, blir nåverdien for den som velger trigger:

Den som velger å alltid bryte avtalen, vil få følgende nåverdi:

Vi kan sette opp følgende tabell (Resten av beregningene er vist i appendiks til oppgaven):                                                            

Tabell 11.2 En forenklet strategisk form av et gjentatt kartellspill.

I dette spillet ser vi at det er mange Nash-likevekter. Så hvilken likevekt vil spillerne spille mot?

Den likevekta som vil bli valgt, må være ei delspill-perfekt likevekt. Vi kan se at å alltid bryte avtalen er delspill-perfekt, fordi hvert delspill da vil være likt. Uansett hva som skjer i første periode, vil ingenting være forandret i neste periode. Her har vi akkurat de samme strategiene, og det vil også være ei Nash-likevekt å alltid bryte avtalen i dette delspillet.

Det er ikke like åpenbart at det er ei delspill-perfekt Nash-likevekt at begge spillerne spiller "trigger". Men vi kan lettest se dette ved å dele alle mulige delspill i spillet inn i to grupper (Gibbons 1992): (1.) De delspillene hvor alle har fulgt avtalen i alle de forrige periodene, og (2.): De delspillene hvor minst en av spillerne har brutt avtalen i en av de tidligere periodene.

 I den første gruppa vil hvert delspill være lik hele spillet. I første periode vil begge følge avtalen. I andre periode vil vi ha nøyaktig samme situasjon. Det er fortsatt ei Nash-likevekt at begge spiller "trigger". Når det gjelder delspillene i gruppe 2, har minst en av spillerne brutt avtalen i en tidligere periode. Dette vil føre til at begge bryter avtalen i alle de neste periodene. Da er vi tilbake i den situasjonen hvor begge alltid bryter avtalen, og vi så ovenfor at også det er ei delspill-perfekt likevekt.

Konklusjonen her blir at samarbeid kan være mulig. Vi kan tenke oss at begge vil prøve på samarbeid ved å velge "trigger" strategien fordi de da vil tjene mer enn om begge velger "alltid bryt avtalen". Nash-likevekta ("Trigger", "Trigger") pareto-dominerer Nash-likevekta ("Bryt", "Bryt") (Binmore 1992), det vil si at det for minst en spiller er bedre at denne likevekta realiseres, uten at det er dårligere for andre. Men det er ikke sikkert at det er nok at ei likevekt pareto-dominerer ei annen. I kartell spillet er det mer risikabelt å prøve å samarbeide, enn å alltid bryte avtalen. Hvis en spiller velger å alltid bryte avtalen, kan han ikke gjøre det dårligere enn 87 405. Men hvis han velger "trigger" kan han risikere å bare ende opp med 87 356. Å alltid bryte avtalen risiko-dominerer "trigger".

I dette spillet er det imidlertid mest sannsynlig at spillerne vil prøve å samarbeide. Risikoen er ikke så stor, det beløpet de risikerer å tape er mye mindre enn de har mulighet til å tjene.